● 郜舒竹

在“除法竖式”一课的课堂观察中，我发现了一个令人困惑的现象。

教师设计了“24÷2”和“72÷3”两道例题。

教学过程中，教师首先用“分小棒”的方法讲解“24÷2”，把2捆（每捆10根）零4根小棒平均分给2个人。第一步先分2捆，每人得到1捆；第二步，再把剩下的4根小棒平均分给2个人，每人得到2根；第三步，把每人分得的1捆和2根相加得到最后结果12根；最后结合分小棒的过程写出竖式。

对第1个例题，学生几乎没有任何困难，很快掌握了这一方法。接下来教师出示第2个例题“72÷3”，要求学生自己用同样方法自主探究计算过程并写出相应的竖式。结果出乎预料，直至下课全班没有一个学生写出正确结果。课后教师反思时，认为这节课很失败，同时产生了一个困惑：“24÷2”与“72÷3”同为两位数除以一位数的除法，其竖式形式也基本相同，为什么第1个题会了之后，第2个题仍探究不出来呢？

应当承认，这两道题确有很多相同之处，但这一案例说明两道题的思考过程一定存在很大差异，这种差异从表面上难以发现。为了找出这一差异，我们采用“要素分解”的方法。所谓“要素分解”，就是把构成一个整体必不可少的因素分离出来，通过对这些要素之间异同的对比，找出两个整体之间的异同。下面所要比较的整体就是两道例题的思考过程。

用“分小棒”思考此类问题的过程大致可以分为4个步骤（见右上表）（表略）。右上表把两道题4个步骤中必须思考的内容分别列举出来，进行比较。

如果将表中每一个单元格中的思考内容叫作一个“思考点”，那么第1个例题有4个思考点，而第2个例题有8个思考点，单从思考点的数量就能看出第2个例题的思维含量大大超过了第1个例题。

不仅如此，第2个例题的8个思考点中有4个都与第1个例题不相同，都是学生在学习第1题时没有涉及的思考内容，这些自然就成为了学生思考过程中的障碍。比如，在第1个步骤“分整捆”的思考过程中，第2个例题有3个思考点，其中第3个思考点“把6捆小棒平均分给3个人，每人得到2捆”与第一个例题是类似的，要过渡到这个熟悉的思考点，还要经历“把7捆小棒平均分给3个人，无法分”和“把7捆小棒拆分成6捆和1捆”这样不熟悉的思考内容，其中的关键是要思考出解决“无法分”的办法，这对学生来说显然是很困难的。

学生学习可能出现困难的内容通常具有两个特征：第一，思考过程过于复杂；第二，与已有的知识和经验没有联系或相悖。第2个例题相对于第1个例题来说，同时具备了这两个特征。因此学生对第2个例题感到困难，也就不足为奇了。

如果教师在教学之初知道第2个例题中存在“无法分”这样一个思维障碍，将教学的着力点放在将“无法分”的情况转化为“可以分”的情况，不仅可以突破难点，还适时渗透了“化未知为已知”的方法论思想。

教师的一个重要职能就是“解惑”，解惑的前提应当是“知惑”。但在我们的教学中，“知惑”做得并不好。期待此例能引起教师对“知惑”的重视。